容斥原理的三大公式及推導(dǎo)

粉筆三者容斥問題3個公式如下：

1、標(biāo)準(zhǔn)型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

2、非標(biāo)準(zhǔn)型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只滿足兩個條件的- 2×三個都滿足的。

3、列方程組：|A∪B∪C | =只滿足一個條件的+只滿足兩個條件的+三個都滿足的。

在計數(shù)時，必須注意沒有重復(fù)，沒有遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法。

這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復(fù)計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。

容斥原理的定義：

如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數(shù)總和= A類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)—既是A類又是B類的元素個數(shù)—既是A類又是C類的元素個數(shù)—既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù)。

（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。

例如：一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？

分析：依題意，被計數(shù)的事物有語、數(shù)得滿分兩類，“數(shù)學(xué)得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語、數(shù)都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學(xué)”稱為“A類和B類元素個數(shù)”的總和。為15+12-4=23。