韓信巧點兵解題方法

韓信點兵的數(shù)學解法

我國漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數(shù)，第一次按1～3報數(shù)，第二次按1～5報數(shù)，第三次按1～7報數(shù)，每次報數(shù)后都要求最后一個人報告他報的數(shù)是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為“鬼谷算”、 “隔墻算”、“秦王暗點兵”等。

這種問題在《孫子算經(jīng)》中也有記載：“今有物不知其數(shù)：三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問物幾何?” 它的意思就是，有一些物品，如果3個3個的數(shù)，最后剩2個；如果5個5個的數(shù)，最后剩3個；如果7個7個的數(shù)，最后剩2個；求這些物品一共有多少？人們通常把這個問題叫作“孫子問題”， 西方數(shù)學家把它稱為“中國剩余定理”。現(xiàn)在，這個問題已成為世界數(shù)學史上著名的問題。

到了明代，數(shù)學家程大位把這個問題的算法編成了四句歌訣：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝；

七子團圓正半月，除百零五便得知。

用現(xiàn)在的話來說就是：一個數(shù)用3除，除得的余數(shù)乘70；用5除，除得的余數(shù)乘21；用7除，除得的余數(shù)乘15。最后把這些乘積加起來再減去105的倍數(shù)，就知道這個數(shù)是多少。

《孫子算經(jīng)》中這個問題的算法是：

70×2＋21×3＋15×2＝233

233－105－105＝23

所以這些物品最少有23個。

根據(jù)上面的算法，韓信點兵時，必須先知道部隊的大約人數(shù)，否則他也是無法準確算出人數(shù)的。你知道這是怎么回事嗎？

這是因為，

被5、7整除，而被3除余1的最小正整數(shù)是70；

被3、7整除，而被5除余1的最小正整數(shù)是21；

被3、5整除，而被7除余1的最小正整數(shù)是15。

所以，這三個數(shù)的和是15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質(zhì)。

以上解法的道理在于：

被3、5整除，而被7除余1的最小正整數(shù)是15；

被3、7整除，而被5除余1的最小正整數(shù)是21；

被5、7整除，而被3除余1的最小正整數(shù)是70。

因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整數(shù)是 15×2＝30；

被3、7整除，而被5除余3的最小正整數(shù)是 21×3＝63；

被5、7整除，而被3除余2的最小正整數(shù)是 70×2＝140。

于是和數(shù)15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質(zhì)。但所得結(jié)果233（30＋63＋140＝233）不一定是滿足上述性質(zhì)的最小正整數(shù)，故從它中減去3、5、7的最小公倍數(shù)105的若干倍，直至差小于105為止，即 233－105－105＝23。所以23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整數(shù)。