一階齊次微分方程通解公式推導(dǎo)

舉例說明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)3

(x-2)dy=[y 2*(x-2)3]dx

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)3dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)2=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)2]

y/(x-2)=(x-2)2 C (C是積分常數(shù))

y=(x-2)3 C(x-2)

∴原方程的通解是y=(x-2)3 C(x-2)(C是積分常數(shù))。

擴展資料：

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程，Q(x)稱為自由項。一階，指的是方程中關(guān)于Y的導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)。線性，指的是方程簡化后的每一項關(guān)于y、y'的次數(shù)為0或1。

對于一階非齊次線性微分方程：

其對應(yīng)齊次方程:

解為：

令C=u(x)，得:

帶入原方程得：

對u’(x)積分得u(x)并帶入得其通解形式為：

其中C為常數(shù)，由函數(shù)的初始條件決定。

注意到，上式右端第一項是對應(yīng)的齊線性方程式（式2）的通解，第二項是非齊線性方程式（式1）的一個特解。由此可知，一階非齊線性方程的通解等于對應(yīng)的齊線性方程的通解與非齊線性方程的一個特解之和。