羅爾中值定理典型例題

①若要證明 ,則考慮直接使用羅爾定理，無(wú)需構(gòu)造輔助函數(shù)。

例：

設(shè) (其中 均為常數(shù))，證：方程 在 內(nèi)至少有一個(gè)解。

思路：經(jīng)過端點(diǎn)的帶入嘗試，你會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)法直接找到函數(shù)的零點(diǎn)，因此我們選擇求其原函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，從而達(dá)到我們想要的效果。

解： 令 。

由羅爾定理可得： 即原方程至少存在一個(gè)解得證。

②若要證明 ,則考慮構(gòu)造輔助函數(shù) ,然后使用羅爾定理即可。

此方法可以用來(lái)證明拉格朗日中值定理，具體證明見中值定理基礎(chǔ)篇。

③若要證明 或者 ,則考慮多次使用羅爾定理。

例1：

設(shè) 三階可導(dǎo)， ,證明:

解:

由于 ,所以由羅爾定理可得： .

因此，可以得到 ，進(jìn)行兩次羅爾定理可得 。 最后，再對(duì) 使用一次羅爾定理可得 ，由此得證。

例2：

設(shè) 上三階可導(dǎo)， ,證明:

思路：雖然這道題沒有足夠多的零點(diǎn)，但是函數(shù)是具體的，可以自行求導(dǎo)尋找零點(diǎn)和駐點(diǎn)。

解：由于 使用羅爾定理可得 。

由 可得： 對(duì) 使用羅爾定理可得 ,由此得證。

例3：

設(shè) 二階可導(dǎo)， ,證明:

思路：要求二階導(dǎo)為0，則需要三個(gè) 零點(diǎn)，題目已經(jīng)給出兩個(gè)，因此我們只需要從第三個(gè)條件中推出一個(gè)零點(diǎn)即可。

解：不妨假設(shè)，

又由于 在 上二階可導(dǎo)， 由零點(diǎn)定理

到此，我們得到了三個(gè)零點(diǎn)，反復(fù)使用羅爾定理就可以得到所證結(jié)論。

例4：

設(shè) 在 上連續(xù),且 證明： 在 內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。

常見的錯(cuò)誤解法：直接使用積分中值定理

錯(cuò)解： ,從而由此得到 兩個(gè)零點(diǎn)，但是實(shí)際上這是錯(cuò)誤的，因?yàn)槲覀儫o(wú)法確定 與 是否相等。 正確解法：

思路：既然我們無(wú)法直接找到函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，那么我們可以退而求其次的找其原函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，從而達(dá)到我們想要的效果。 解：令 ,則 .

由于 再由積分中值定理得 。到此我們得到了三個(gè)零點(diǎn)，只需反復(fù)使用羅爾定理，就可以得到需證結(jié)論。