正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化過程

正態(tài)分布（Normal distribution）又名高斯分布，是一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多方面有著重大的影響力。若隨機(jī)變量X服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ、方差為σ^2的高斯分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標(biāo)準(zhǔn)差σ決定了分布的幅度。因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。我們通常所說的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是μ = 0，σ = 1的正態(tài)分布。

推導(dǎo)過程：

因?yàn)閄～N(μ，σ^2)，所以P(x)=(2π)^(-1/2)*σ^(-1)*exp{[-(x-μ)^2]/(2σ^2)}.其中 F(y)為Y的分布函數(shù)，F(xiàn)x(x)為X的分布函數(shù)。

而 F(y)=P(Y≤y)=P((X-μ)/σ≤y)=P(X≤σy+μ)=Fx(σy+μ)

所以 p(y)=F'(y)=F'x(σy+μ)*σ=P(σy+μ)*σ=[(2π)^(-1/2)]*e^[-（x^2)/2].

從而，Y～N(0，1)。

惹X～N（p，k＾2）的正態(tài)分布，則Z＝（X－p）／k～N（0，1）的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即統(tǒng)計(jì)量減期望值后除以方差。

假設(shè)X～N（μ，σ＾2），則Y＝（X－μ）／σ～N（0，1）．

證明；

因?yàn)閄～N（μ，σ＾2），所以P（x）＝（2π）＾（－1／2）＊σ＾（－1）＊exp｛［－（x－μ）＾2］／（2σ＾2）｝

y=kx+b直線，它不一定過原點(diǎn)的，但是通過變換就可以了：大Y=y-b；大X=kx；===>大Y=大X

y=a*b乘積，通過變換就可以變成加法運(yùn)算：

y=ax2+bx+c通過變換就可以變成標(biāo)準(zhǔn)形式：

y=a（x+b/（2a））2+（c-b2/（4a））。