收斂半徑r的求法公式

根據(jù)達(dá)朗貝爾審斂法，收斂半徑R滿足：如果冪級數(shù)滿足，則：ρ是正實(shí)數(shù)時，R=1/ρ；ρ= 0時，R=+∞；ρ=+∞時，R=0。根據(jù)根值審斂法，則有柯西-阿達(dá)馬公式。或者，復(fù)分析中的收斂半徑將一個收斂半徑是正數(shù)的冪級數(shù)的變量取為復(fù)數(shù)，就可以定義一個全純函數(shù)。

收斂圓上的斂散性

如果冪級數(shù)在a附近可展，并且收斂半徑為r，那么所有滿足|za|=r的點(diǎn)的集合（收斂圓盤的邊界）是一個圓，稱為收斂圓。冪級數(shù)在收斂圓上可能收斂也可能發(fā)散。即使冪級數(shù)在收斂圓上收斂，也不一定絕對收斂。

例1：冪級數(shù)的收斂半徑是1并在整個收斂圓上收斂。設(shè)h(z)是這個級數(shù)對應(yīng)的函數(shù)，那么h(z)是例2中的g(z)除以z后的導(dǎo)數(shù)。h(z)是雙對數(shù)函數(shù)。

例2：冪級數(shù)的收斂半徑是1并在整個收斂圓上一致收斂，但是并不在收斂圓上絕對收斂。

收斂半徑一般的推導(dǎo)

用第n+1項(xiàng)除以第n項(xiàng),整個的絕對值,小于1,解出x(或x-a這決定于你級數(shù)的展開)的絕對值小于的值就是收斂半徑收斂域就是求使其收斂的所有的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域。

比如收斂半徑是r,求收斂域,就是判斷x(或x-a)的對值r時必發(fā)散,所以只要判斷=r時的兩個點(diǎn)是否收斂即可,如過有收斂就把該點(diǎn)并到<r的區(qū)域上即得收斂域。