倒序相加法例題10道

僅供參考。

倒序相加法

例1 計(jì)算1+3+5+…+(2n-1).

觀察這一群相加的數(shù)， 會(huì)發(fā)現(xiàn)兩兩之間的差都是2， 有類似特點(diǎn)的數(shù)字組合有一個(gè)特點(diǎn)，

舉例：

如1，3，5，7，9，11

1+11=3+9=5+7=12

也就是前后相應(yīng)位置的數(shù)字的和是相等的.

現(xiàn)在我們就利用這個(gè)特點(diǎn)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.

先設(shè)：

S=1+3+5+…+(2n-1).

我們把等號(hào)右邊的式子的順序再倒過(guò)來(lái)寫一下：

S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+1.

讓上面兩個(gè)式子左右兩邊對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)分別相加，得：

2S=1+(2n-1)+3+(2n-3)+5+(2n-5)+…+(2n-1)+1.

即：2S=2n+2n+2n+…+2n.

右邊一共有n個(gè)2n （怎么計(jì)算的？），

∴2S=2n·n=2n2

∴S=n2.

倒敘相加法公式：Sn=n(a1+an)/2）。一個(gè)數(shù)列an，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。

數(shù)列，是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)即首項(xiàng)，排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，以此類推，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，通常用an表示

倒序相加法，是解決數(shù)列求和問(wèn)題的一種經(jīng)典方法，相傳是大數(shù)學(xué)家高斯在幼年時(shí)首先使用。人們因此受到啟發(fā)，創(chuàng)造了倒序相加法。在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，就使用了這種方法。

據(jù)說(shuō)高斯在9歲時(shí)，就發(fā)明了一種快速計(jì)算等差數(shù)列求和的小技巧，在很短的時(shí)間內(nèi)計(jì)算完成了他的小學(xué)老師在黑板上給出的問(wèn)題，雖然該問(wèn)題的詳細(xì)數(shù)字尚有爭(zhēng)議，但現(xiàn)在普遍認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題是：計(jì)算從1到100這100個(gè)自然數(shù)之和。高斯所使用的方法是：將第1個(gè)數(shù)字與最后1個(gè)數(shù)字相加、第2個(gè)數(shù)字與倒數(shù)第2個(gè)數(shù)字相加……以此類推，可以得到50對(duì)101，所以101×50=5050便是答案。