質心 形心的公式是什么

在解析幾何中，一個圖形的質心和形心是兩個重要的特殊點，它們用于描述和計算圖形的幾何特征。對于平面圖形，它們的公式如下：

1. 質心：平面圖形的質心是圖形內所有點的平均位置。對于平面上的點集$S$，其質心$(\overline{x},\overline{y})$的計算公式為：

$$ \overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \qquad \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$$

其中$n$為點集$S$中點的個數(shù)，$(x_i,y_i)$為第$i$個點的坐標。

2. 形心：平面圖形的形心是已知密度分布后的質心。對于密度函數(shù)為$\rho(x,y)$的平面圖形，其形心$(\overline{x},\overline{y})$的計算公式為：

$$ \overline{x} = \frac{\int_S x\rho(x,y)dA}{\int_S \rho(x,y)dA}, \quad \overline{y} = \frac{\int_S y\rho(x,y)dA}{\int_S \rho(x,y)dA} $$

其中$S$為圖形，$dA$為面積元素。

需要注意的是，質心和形心的計算公式在三維空間中也有類似的形式，只是需要將二維平面上的坐標改為三維空間中的坐標，并將面積元素$dA$改為體積元素$dV$。