1、定義：無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。 常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有非完全平方數(shù)的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數(shù)）等。

2、常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有：圓周長(zhǎng)與其直徑的比值，歐拉數(shù)e，黃金比例φ等等。

可以看出，無(wú)理數(shù)在位置數(shù)字系統(tǒng)中表示（例如，以十進(jìn)制數(shù)字或任何其他自然基礎(chǔ)表示）不會(huì)終止，也不會(huì)重復(fù)，即不包含數(shù)字的子序列。

例如，數(shù)字π的十進(jìn)制表示從3.141592653589793開(kāi)始，但沒(méi)有有限數(shù)字的數(shù)字可以精確地表示π，也不重復(fù)。必須終止或重復(fù)的有理數(shù)字的十進(jìn)制擴(kuò)展的證據(jù)不同于終止或重復(fù)的十進(jìn)制擴(kuò)展必須是有理數(shù)的證據(jù)，盡管基本而不冗長(zhǎng)，但兩種證明都需要一些工作。數(shù)學(xué)家通常不會(huì)把“終止或重復(fù)”作為有理數(shù)概念的定義。

3、擴(kuò)展資料：

無(wú)理數(shù)歷史

畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年至公元前500年間）是古希臘的大數(shù)學(xué)家。他證明許多重要的定理，包括后來(lái)以他的名字命名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。

畢達(dá)哥拉斯將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用得純熟之后，覺(jué)得不能只滿足于用來(lái)算題解題，于是他試著從數(shù)學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)大到哲學(xué)，用數(shù)的觀點(diǎn)去解釋一下世界。經(jīng)過(guò)一番刻苦實(shí)踐，他提出“萬(wàn)物皆為數(shù)”的觀點(diǎn)：數(shù)的元素就是萬(wàn)物的元素，世界是由數(shù)組成的，世界上的一切沒(méi)有不可以用數(shù)來(lái)表示的，數(shù)本身就是世界的秩序。

公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的（若正方形的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù)），這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬(wàn)物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭。

這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，于是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門(mén)徒。被畢氏門(mén)徒殘忍地投入了水中***害。科學(xué)史就這樣拉開(kāi)了序幕，卻是一場(chǎng)悲劇。